二人の兄と姉の影響もあり3歳でテニスを始める。
12歳にして「盛田正明テニス・ファンド」の奨学生となり、IMGアカデミーにテニス留学をした望月は、2017年、日本代表メンバーとしてワールドジュニアアジア予選を突破、世界大会では日本3位という成績を収める。同年、ジュニア最高峰の大会、オレンジボールとエディー・ハー14歳以下で連続優勝を果たす。

2019年、グランドスラムの全仏ジュニアでベスト4入り、その後のウィンブルドンジュニアで日本男子として初優勝の快挙を成し遂げると、日本人男子初のジュニア世界ランキング1位の栄誉に輝いた。さらに同年、ジュニアデビスカップに日本代表として出場し、日本チームの9年ぶり2度目の優勝に大きく貢献する。

2020年には、モレロス・オープン（クエルナバカ・チャレンジャー）でカルロス・ゴメス＝エレーラとペアを組みダブルスで準優勝。
2021年3月には、17歳9ヵ月の史上最年少でデビスカップの日本代表入りを果たし、島袋将選手と出場したダブルスで勝利する。同年10月31日、盛田ファンドを卒業し、プロ転向。11月1日より本格的にプロとしてツアー参戦する。

2021年　デビスカップワールドグループⅠ　日本勝利　デ杯初出場　ダブルス勝利
2019年　ITF G１コーヒーボウル　優勝
2019年　ジュニアデビスカップ　日本代表　優勝
2019年　全仏ジュニア　ベスト4
2019年　ウィンブルドンジュニア　優勝
2017年　オレンジボウル　14歳以下　優勝
2017年　エディー・ハー　14歳以下　優勝